原题：对于平面直角坐标系x0y中的线段PQ和点R，给出如下定义：若PR=PQ，则称点R为线段PQ的“P-等长点”。
如图1，已知点A（1,0），B（0,2）。

（1）在点R1（2,0），R2(-1,0), R3（1,-1）中，线段AO的“A-等长点”为：____。

（2）若直线y=x+b上存在线段BO的“B-等长点”，求b的取值范围。

（3）连接AB，

（3.1）若第一象限内的点R是线段BA的“B-等长点”，且△ABR是直角三角形，则点R的坐标为：____。

（3.2）矩形CDEF中，DE=2，C(t, 1)，D（t+1, 1），若矩形CDEF上存在线段BA的“B-等长点”，结合图象，写出t的取值范围。

（图1）

解答：

（1）R1，R3。（注：这个题很简单，在图象上画出R1，R2，R3，就能看出答案。AO=AR1=AR3=1）

（2）解题思路：线段BO的B-等长点，必定是落在下图的圆圈之上（因为该圆的半径为2）。通过观察可知，直线y=x+b可以是任意一条45度角的直线。若该直线上存在B-等长点，则该直线必须和圆圈相交或相切。也就是说，直线y=x+b必定是位于下图的两条蓝色直线之间（或与之重合）。继续观察可知，直线y=x+b与y轴的交点，就是b的值。所以，下图中E点到D点，就是b的取值范围。

由于角BCD是等腰直角三角形，且BC=CD=2，因此BD^2=BC^2+CD^2，可知BD=√8=2√2。则D点的值为：2-2√2。同理，E点的值为：2+2√2。所以，2-2√2≤b≤2+2√2。

（3.1）如下图，R位于第一象限，且角ABR是直角三角形，则相当于将线段AB逆时针旋转了90度（也可看做是将角ABO逆时针旋转90度），则从图上观察可知，点R的坐标为：（2,3）。

（3.2）从下图观察可知，矩形CDEF可以位于Y轴的左侧和右侧。当位于右侧时，t值最大为：√5。当位于Y轴左侧时，t值最小为：-√5-1。因此，-√5-1≤t≤√5。

三角形（triangle）是我们生活中相当常见的图形之一，在数学（math）的几何中，三角形更是重要的学习内容。大家对于三角形的一些常用基础概念比如：直角、锐角、钝角、角平分线、勾股定理等，一定不会陌生。但是如果让你用英文表达这些术语，你是否能快速做到呢？相信不少的小伙伴都会犯难了，不用着急，本文中，学习志给大家带来了快速的答案。

直角，锐角，钝角，指的分别是：角度为90度，角度小于90度，角度大于90度的三角形内角。英文中，它们对应的说法分别是：直角：right angle；锐角，acute angle；钝角，obtuse angle。注意obtuse的意思是：迟钝的，不敏感，不锋利的。

所谓角平分线，指的是将三角形的某个角的角度进行平等分隔的线，英文中，角平分线的对应说法是：angle bisector。注意，bisector的动词形式为：bisect，意思是：二等分，平分。

最后说一下勾股定理，它是一个非常有名的直角三角形有关定律，指的是：直角三角形的两条直角边的长度的平方和等于斜边长的平方。其英文说法是：Pythagorean theorem，或Pythagoras’ theorem。注意，英文的意思是：毕达哥拉斯（Pythagoras）定理，但实际上中国西周初期的数学家商高（Shang Gao）要早于希腊的毕氏发现该理论，具体事迹载于《周髀算经》。

英文中有大量的和数学专有名词相关的词汇，它们常常令英语初学者们感到迷惑甚至头疼，对于数学也不是很好的小伙伴，掌握这类单词更是难上加难。比如，你知道英文单词里的quadratics，它在数学里的具体含义或意思是什么吗？本文中，学习志（alearnersblog.com）将给大家带来简单易懂的介绍，一起来看看。

Quadratics，其实是一种简化的说法，它的完整英文说法应该是：quadratic equations，它的中文意思是：一元二次方程。在一些线上权威英汉词典中，会将quadratic翻译为“二次”的。的确，这里的单词前缀“quad-”虽然有“4”的意思，但在这个单词中却指的是二次，确切地说，指的是：平方。一般来说，英文中所说的quadratic equations，它都只含有1个未知数（unknown）。所以，学习志认为：quadratic equations，通常指的是：一元二次方程。

我们来看看quadratics的标准形式：ax² + bx + c = 0。观察这个方程式（等式），我们可以看到，其中只含有1个未知数x，且它的最高次方是2（平方）。这里的a，b，c都是已知数，且a不能为0。比如：x²+6x+8=0，也属于一元二次方程，注意这里的x²，可以把它的系数看成是1。这个方程的解是：x=-2，或x=-4。

在数学的运算中，有一个概念可能让不少的初学者感到迷惑，那就是：幂。由于这个中文字本身的写法就较为复杂，在日程生活中出现的频率也不是太高，这就带来了一定的理解难度。本文中，学习志（alearnersblog.com）将给大家快速介绍：数学里的“幂”到底是什么意思？它的英文说法有哪些？电脑上可以如何表示？

如果我们查询百度百科，会发现幂的定义是：幂是指数运算的结果。同时，幂是数学代数的术语。所以，这里写得很清楚，幂属于乘方运算的结果，它指的是“结果”。同时，百科词条还介绍了幂这个说法的由来：幂原指盖东西的布巾，乘方的表示是通过在一个数字上加右上标的形式来实现的，这就像在一个数上“盖上了一头巾”，因而得名。

以上的解释当然没有问题，但是学习志也注意到，在国外的一些英文教程中，也会把幂理解为：底数右上角的指数。比如：2的3次方（写作：2³，也可读作2的3次幂），这里的指数3，也会被认为是幂。

英文中幂（指数）有几种常用说法，包括：exponent，power，index。顺便说一下，底数的英文是：base。

在电脑上，幂的常用表示方法有3种，包括：（1）使用右上标。比如：5²，指5的2次方。（2）使用插入符号，比如：5^2（效果与5²是一样的）。（3）使用2个星号，如：5**2，也是表示：5的2次方。

数学中有一个比较重要的概念叫抽屉原理（drawer principle），也叫鸽巢原理（pigeonhole principle），今天学习志（Alearnersblog.com）和大家分享一个运用到该原理的数学练习题，如何对它进行理解和分析，并解出答案。下面是题目的原题和选项：

8月的天气有晴、阴、小雨、多云四种，至少有几天是同一种天气？答案选项：A：7，B：8，C：9，D：10。

如果你之前从来没有接触过抽屉理论或鸽巢原理，可能会不太容易理解这道题的意思。其实，这道题说的是：假如在8月份的31天里，必须存在4种不同的天气（晴天、阴天、小雨、多云），那么这些天气该如何分配，才能让8月的某天具有同一种天气的情况最少？

为了帮助大家更好的理解，我们先说说：让8月份具有同一种天气的情况最多的情况。由于8月必须有4种天气，则：晴、阴、雨、云必须占1天（共4天），还剩下31-4=27天。如果剩下的27天都设置为同一种天气（比如：雨），加上前面已占的1天，那么8月份同一种天气最多的情况是：1+27=28天。

反过来，我们怎么才能让8月具有同一种天气的情况最少呢？

我们只有让每一种天气都尽量平均分配到31天中，才能让具有同一种天气的情况最少。如果要排列的话，应该是这样排：晴、阴、雨、云、/晴、阴、雨、云、/晴、阴、雨、云。。。

也就是说，我们要求出31天中有多少个4（4种天气），就能找出有多少个同一种天气。31/4=7余3天，也就是说有7天必须是同一种天气。由于还剩余3天，这3天无论设置为哪种天气，都会和前面的1种天气重复。所以至少会有：7+1=8天的天气是会重复的。答案选B。

在解这种抽屉原理题时，需要记住的很重要一点是：我们需要考虑的是最不利情况。在确定抽屉时，数量较少的那个常被选为抽屉。比如本题中：4种天气，31天，4<31，则4做抽屉。解题公式为：31/4+1=8。

参考链接：

抽屉原理（百度百科）

Pigeonhole Principle（Wikipedia）