原题：对于平面直角坐标系x0y中的线段PQ和点R，给出如下定义：若PR=PQ，则称点R为线段PQ的“P-等长点”。
如图1，已知点A（1,0），B（0,2）。

（1）在点R1（2,0），R2(-1,0), R3（1,-1）中，线段AO的“A-等长点”为：____。

（2）若直线y=x+b上存在线段BO的“B-等长点”，求b的取值范围。

（3）连接AB，

（3.1）若第一象限内的点R是线段BA的“B-等长点”，且△ABR是直角三角形，则点R的坐标为：____。

（3.2）矩形CDEF中，DE=2，C(t, 1)，D（t+1, 1），若矩形CDEF上存在线段BA的“B-等长点”，结合图象，写出t的取值范围。

（图1）

解答：

（1）R1，R3。（注：这个题很简单，在图象上画出R1，R2，R3，就能看出答案。AO=AR1=AR3=1）

（2）解题思路：线段BO的B-等长点，必定是落在下图的圆圈之上（因为该圆的半径为2）。通过观察可知，直线y=x+b可以是任意一条45度角的直线。若该直线上存在B-等长点，则该直线必须和圆圈相交或相切。也就是说，直线y=x+b必定是位于下图的两条蓝色直线之间（或与之重合）。继续观察可知，直线y=x+b与y轴的交点，就是b的值。所以，下图中E点到D点，就是b的取值范围。

由于角BCD是等腰直角三角形，且BC=CD=2，因此BD^2=BC^2+CD^2，可知BD=√8=2√2。则D点的值为：2-2√2。同理，E点的值为：2+2√2。所以，2-2√2≤b≤2+2√2。

（3.1）如下图，R位于第一象限，且角ABR是直角三角形，则相当于将线段AB逆时针旋转了90度（也可看做是将角ABO逆时针旋转90度），则从图上观察可知，点R的坐标为：（2,3）。

（3.2）从下图观察可知，矩形CDEF可以位于Y轴的左侧和右侧。当位于右侧时，t值最大为：√5。当位于Y轴左侧时，t值最小为：-√5-1。因此，-√5-1≤t≤√5。

根据学习志（alearnersblog.com）的了解，“Vertical integration”，是一个由两个单词组成的英文短语，其中”vertical”指代竖直方向，”integration”则表示整合或合并。它是指公司在同一产业链上，将生产、销售、配送等环节纳入自己的控制范围内，以实现全流程管理和优化效率的战略。这个策略通常用于提高企业的竞争力、控制供应链和减少成本。

垂直整合的好处在于它可以帮助企业优化生产流程、提高生产效率、控制成本、提高产品质量和品牌忠诚度。通过掌控生产、销售、配送等环节，企业可以更好地控制整个产业链的质量和效率，从而提高产品的可靠性、效率和性能，降低成本、提高效率、增加利润，并在激烈的市场竞争中占据更有利的地位。

在业界，有许多公司通过垂直整合成功地实现了自己的战略目标。以下是几个成功的案例：

苹果：苹果是一个典型的垂直整合的公司。苹果不仅设计和开发自己的硬件和软件，还控制整个供应链和销售渠道，从而确保了产品的质量和用户体验。

特斯拉：特斯拉也属于垂直整合企业。特斯拉设计、制造和销售电动汽车，同时也拥有自己的电池生产工厂、充电设施和售后服务中心。特斯拉还开发了自己的软件和硬件，包括自动驾驶技术、车载娱乐系统和电池管理系统等。这种垂直整合使得特斯拉能够更好地控制整个供应链，提高生产效率，缩短产品上市周期，保护自己的知识产权和商业利益，并为用户提供一种无缝的产品体验。

亚马逊：亚马逊是电子商务领域中一个成功的垂直整合企业。亚马逊拥有和经营自己的配送中心、交付服务和云计算基础设施，从而为用户提供无缝的终端体验。亚马逊的垂直整合也使其能够控制成本和提高运营效率。

网飞：网飞是一个垂直整合的流媒体公司，制作自己的内容，如电视剧和电影，并通过自己的平台进行传输。这种垂直整合使网飞能够控制用户体验，并通过提供独特的内容来区别于竞争对手。

谷歌：谷歌是另一个在科技行业中垂直整合的典范。谷歌设计和开发自己的硬件，如智能手机和笔记本电脑，并通过自己的操作系统和应用程序控制软件侧面。这种垂直整合使谷歌能够为用户提供一种无缝的产品体验，并通过掌控整个产业链来保护自己的商业利益。

总的来说，垂直整合是一种重要的企业战略，可以帮助企业优化供应链、提高效率、控制成本和提高产品质量。在科技行业中，许多公司通过垂直整合成功地实现了自己的商业目标，并在市场竞争中获得了优势。

三角形（triangle）是我们生活中相当常见的图形之一，在数学（math）的几何中，三角形更是重要的学习内容。大家对于三角形的一些常用基础概念比如：直角、锐角、钝角、角平分线、勾股定理等，一定不会陌生。但是如果让你用英文表达这些术语，你是否能快速做到呢？相信不少的小伙伴都会犯难了，不用着急，本文中，学习志给大家带来了快速的答案。

直角，锐角，钝角，指的分别是：角度为90度，角度小于90度，角度大于90度的三角形内角。英文中，它们对应的说法分别是：直角：right angle；锐角，acute angle；钝角，obtuse angle。注意obtuse的意思是：迟钝的，不敏感，不锋利的。

所谓角平分线，指的是将三角形的某个角的角度进行平等分隔的线，英文中，角平分线的对应说法是：angle bisector。注意，bisector的动词形式为：bisect，意思是：二等分，平分。

最后说一下勾股定理，它是一个非常有名的直角三角形有关定律，指的是：直角三角形的两条直角边的长度的平方和等于斜边长的平方。其英文说法是：Pythagorean theorem，或Pythagoras’ theorem。注意，英文的意思是：毕达哥拉斯（Pythagoras）定理，但实际上中国西周初期的数学家商高（Shang Gao）要早于希腊的毕氏发现该理论，具体事迹载于《周髀算经》。